.1- קטע מרכזיםהנדסה אנליטית 572 · שיעור 46.1

הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572

שיעור 46.1: .1- קטע מרכזים

פרק 3: מעגל

1🔵 סעיף א: הוכחה שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ – קטע מרכזים שווה לסכום הרדיוסים

2🟢 סעיף ב: משוואת המשיק המשותף – שיפוע הופכי ונגדי ונקודה המחלקת קטע ביחס נתון

3🟣 דרך שנייה: נקודת ההשקה כחיתוך שני המעגלים – חיסור המשוואות

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מעגלים: x²+y²−6x−10y+14=0 , x²+y²−38x−26y+350=0

א. הוכח שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ.

ב. מצא את משוואת המשיק המשותף בנקודת ההשקה.

🔵 סעיף א: הוכחה שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ – קטע מרכזים שווה לסכום הרדיוסים

א. הוכח שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ.

מעגל ראשון – השלמה לריבוע:

x²−6x → (x−3)²−9

y²−10y → (y−5)²−25

(x−3)²−9+(y−5)²−25+14=0

(x−3)²+(y−5)²=20

מרכז (3,5)

רדיוס r=√20

מעגל שני:

x²−38x → (x−19)²−19²

y²−26y → (y−13)²−169

(x−19)²−361+(y−13)²

🔵 סעיף א: הוכחה שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ – קטע מרכזים שווה לסכום הרדיוסים · המשך

(x−19)²−361+(y−13)²

−169+350=0

(x−19)²+(y−13)²=361+169−350

(x−19)²+(y−13)²=180

מרכז (19,13)

רדיוס R=√180

קטע המרכזים בנוסחת המרחק:

d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

MN=√(19−3)²+(13−5)²

MN=√256+64=√320

√20+√180=√320

🔵 סעיף א: הוכחה שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ – קטע מרכזים שווה לסכום הרדיוסים · המשך

√20+√180=√320

קטע המרכזים שווה לסכום הרדיוסים: MN=R+r

✅ המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ

🟢 סעיף ב: משוואת המשיק המשותף – שיפוע הופכי ונגדי ונקודה המחלקת קטע ביחס נתון

ב. מצא את משוואת המשיק המשותף בנקודת ההשקה.

המשיק מאונך לרדיוסים, ולכן שיפוע המשיק הופכי ונגדי לשיפוע קטע המרכזים.

m=y₂−y₁x₂−x₁=13−519−3=816=12

שיפוע המשיק: m=−2

נקודת ההשקה B נמצאת על קטע המרכזים, והיא מחלקת אותו ביחס הרדיוסים:

BCAB=√20√180=13

הנוסחה לנקודה המחלקת קטע ביחס k:ℓ:

x=ℓx₁+kx₂k+ℓ

y=ℓy₁+ky₂k+ℓ

ℓ=3 , k=1:

🟢 סעיף ב: משוואת המשיק המשותף – שיפוע הופכי ונגדי ונקודה המחלקת קטע ביחס נתון · המשך

ℓ=3 , k=1:

x=3·3+19·13+1=284=7

y=5·3+13·14=284=7

נקודת ההשקה B(7,7)

y−y₁=m(x−x₁)

y−7=−2(x−7)

y−7=−2x+14

✅ y=−2x+21

🟣 דרך שנייה: נקודת ההשקה כחיתוך שני המעגלים – חיסור המשוואות

מציאת נקודת ההשקה בפתרון שתי משוואות בשני נעלמים (כך חייבים לעשות כשמבקשים חיתוך כללי של שני מעגלים).

מחסרים את משוואת המעגל הראשון מהשנייה (לפני הסידור) – ה־x² וה־y² מתבטלים:

−32x−16y+336=0

מחלקים ב־−16:

2x+y−21=0

y=21−2x

מציבים במשוואת המעגל הראשון:

x²+(21−2x)²−6x

−10(21−2x)+14=0

5x²−70x+245=0

x²−14x+49=0

(x−7)²=0 → x=7

🟣 דרך שנייה: נקודת ההשקה כחיתוך שני המעגלים – חיסור המשוואות · המשך

(x−7)²=0 → x=7

y=21−2·7=7

פתרון יחיד – כמו שצריך למעגלים משיקים.

✅ B(7,7)

📌 לזכור

💡 משיקים מבחוץ ← MN=R+r; משיקים מבפנים ← MN=R−r. נקודת ההשקה על קטע המרכזים – מוצאים אותה בחלוקה ביחס הרדיוסים (הדרך הקצרה) או בחיסור משוואות המעגלים.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא